主要内容如下：
- 回归和分类的区别
- 线性回归
- 最小二乘法
- 梯度下降法
回归和分类
回归和分类一样，都是对变量进行预测
回归是对连续型变量进行预测，回归预测建模是指建立输入变量X映射到连续输出变量Y的映射函数f
分类是对离散型或连续型变量进行预测，分类预测建模是指建立输入变量X映射到离散输出变量Y的映射函数f
比如，预测天气温度是回归问题，预测天气是下雨还是晴天就是分类问题
线性回归
线性回归（linear regression）是以线性模型来建模自变量和因变量之间关系的方法
其中是自变量，是因变量，是模型参数
如果自变量只有一个，那么这种问题称为单变量线性回归（或称为一元线性回归）；如果自变量表示多个，那么成为多变量线性回归（或称为多元线性回归）
单变量线性回归
单变量线性问题可转换为求解二维平面上的直线问题
模型计算公式如下：
参数集合
在学习过程中，需要判断参数和是否满足要求，即是否和所有数据点接近。使用均方误差（mean square error，简称MSE）来评估预测值和实际数据点的接近程度，模型评估公式如下：
其中表示真实数据，表示估计值，表示损失值
多变量线性回归
多变量线性回归计算公式如下：
$$
\left{\right.
$$
参数表示有个等式，参数表示每一组变量有个参数。设，计算公式如下：
$$
\left{\right.
$$
此时每组参数个数增加为，其向量化公式如下：
其中
同样使用均方误差作为损失函数
最小二乘法
利用最小二乘法（least square method）计算线性回归问题的参数，它通过最小化误差的平方和来求取目标函数的最优值，这样进一步转换为求取损失函数的最小值，当得到最小值时，参数偏导数一定为0
有两种方式进行最小二乘法的计算，使用几何方式计算单变量线性回归问题，使用矩阵方式计算多变量线性回归问题
几何计算
当得到最小值时，和的偏导数一定为0，所以参数和的计算公式如下：
最终得到的和的计算公式如下：
- 参数表示真实结果的均值
- 参数表示输入变量的均值
- 参数表示输入变量和真实结果的乘积的均值
- 其他变量以此类推
矩阵计算
基本矩阵运算如下：
矩阵求导如下：
对多变量线性线性回归问题进行计算，
其中，是的转置，计算结果均为的标量，所以大小相等，上式计算如下：
求解
必须是非奇异矩阵，满足，才能保证可逆
对于矩阵的秩，有以下定理
- 对于阶矩阵，当且仅当时，，称为满秩矩阵
- 设为矩阵，则
所以矩阵的秩需要为（通常样本数量大于变量数量）时，才能保证能够使用最小二乘法的矩阵方式求解线性回归问题
示例
单边量线性回归测试数据参考[线性回归最小二乘法和梯度下降法]的瑞典汽车保险数据集
多变量线性回归测试数据参考coursera的ex1data2.txt
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| # -*- coding: utf-8 -*-
# @Time : 19-4-16 上午10:04
# @Author : zj
"""
最小二乘法计算线性回归问题
"""
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def load_sweden_data():
"""
加载单变量数据
"""
path = '../data/sweden.txt'
res = None
with open(path, 'r') as f:
line = f.readline()
res = np.array(line.strip().split(' ')).reshape((-1, 2))
# print(res)
x = []
y = []
for i, item in enumerate(res, 0):
item[1] = str(item[1]).replace(',', '.')
# print('%d %.3f' % (int(item[0]), float(item[1])))
x.append(int(item[0]))
y.append(float(item[1]))
return np.array(x), np.array(y)
def load_ex1_multi_data():
"""
加载多变量数据
"""
path = '../data/coursera2.txt'
datas = []
with open(path, 'r') as f:
lines = f.readlines()
for line in lines:
datas.append(line.strip().split(','))
data_arr = np.array(datas)
data_arr = data_arr.astype(np.float)
X = data_arr[:, :2]
Y = data_arr[:, 2]
return X, Y
def least_square_loss_v1(x, y):
"""
最小二乘法，几何运算
"""
X = np.array(x)
Y = np.array(y)
muX = np.mean(X)
muY = np.mean(Y)
muXY = np.mean(X * Y)
muXX = np.mean(X * X)
w1 = (muXY - muX * muY) / (muXX - muX ** 2)
w0 = muY - w1 * muX
return w0, w1
def least_square_loss_v2(x, y):
"""
最小二乘法，矩阵运算
"""
extend_x = np.insert(x, 0, values=np.ones(x.shape[0]), axis=1)
w = np.linalg.inv(extend_x.T.dot(extend_x)).dot(extend_x.T).dot(y)
return w
def compute_single_variable_linear_regression():
x, y = load_sweden_data()
w0, w1 = least_square_loss_v1(x, y)
y2 = w1 * x + w0
plt.scatter(x, y)
plt.plot(x, y2)
plt.show()
def compute_multi_variable_linear_regression():
x, y = load_ex1_multi_data()
# 计算权重
w = least_square_loss_v2(x, y)
print(w)
if __name__ == '__main__':
# compute_single_variable_linear_regression()
compute_multi_variable_linear_regression()
|
适用范围
最小二乘法直接进行计算就能求出解，操作简洁，最适用于计算单变量线性回归问题
而对于多变量线性回归问题，使用最小二乘法计算需要考虑计算效率，因为的逆矩阵计算代价很大，同时需要考虑可逆问题，所以更推荐梯度下降算法来解决多变量线性回归问题
小结
本文学习了线性回归模型，利用最小二乘法（最小化误差的平方和）实现单边量/多变量线性数据的训练和预测
在训练过程中，线性回归模型使用线性映射进行前向计算，利用均方误差方法进行损失值的计算
- 对于单变量线性回归问题，适用于最小二乘法的几何计算
- 对于多变量线性回归问题，如果变量维数不大同时满足且的情况，使用最小二乘法的矩阵计算；否则，利用梯度下降方式进行权重更新
线性回归模型更适用于回归问题，可以使用逻辑回归模型进行分类
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