激活函数

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介绍激活函数及其特性

  • Sigmoid
  • Tanh
  • ReLU
  • Leaky ReLU
  • Maxout

Sigmoid

Sigmoid函数是最早出现的激活函数，估计是因为逻辑回归模型的缘故

它能够将输入数据压缩到[0,1]之间，值越小，越接近于0；值越大，越接近于1。数学公式如下：

目前基本不使用Sigmoid作为激活函数，主要有两个缺陷

  1. 当激活值处于饱和（saturate）状态（接近0或1），此时得到的梯度几乎为0（如下图所示），也就是说无法在反向传播过程中对权重进行有效更新，网络也将停止学习。所以初始化权重值不能过大，否则会导致激活函数饱和
  2. 因为Sigmoid的取值范围是[0,1]，所以其输出不是零中心（zero-centered）。如果输入的数据总是正值，会导致计算得到的梯度值变为全正或全负（依赖于线性运算的表达式）。非零中心会导致权重更新时呈字形下降，这个问题可以通过初始化权重时平衡正负值来减轻影响
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def sigmoid(x):
    return 1.0 / (1 + np.exp(-1 * x))

def dsigmoid(x):
    return sigmoid(x) * (1 - sigmoid(x))

Tanh

Tanh（全局正切）函数在Sigmoid函数的基础上进一步发展，其将取值压缩在[-1,1]之间，值越小，越接近于-1；值越大，越接近于1。数学公式如下：

其中

所以

根据公式可知，函数是函数的扩展，它解决了输出零中心的问题

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def tanh(x):
    x1 = np.exp(x)
    x2 = np.exp(-1 * x)
    return (x1 - x2) / (x1 + x2)
    # return 2 * sigmoid(2 * x) + 1

def dtanh(x):
    return 1 - tanh(x) ** 2

ReLU

ReLU(Rectified Linear Unit，整流线性单元)激活函数是因为在AlexNet网络中的使用而得到了推广。当输入小于0时，输出为0；否则，输入为输出值。其数学公式如下：

$$
\frac {\varphi f(x)}{\varphi x}=
\left{\right.
=1(x\geq 0)
$$

优势如下：

  1. 计算高效。达到同样训练误差率的时间，使用ReLU能够比tanh快6倍
  2. 实现简单。相比于sigmoid/tanh需要指数运算，ReLU仅是线性阈值操作

缺陷如下：

  1. 输出值没有零中心
  2. 当输入值小于0时，梯度消失，权值不再更新

如果步长（learning rate，学习率）设置过大，有可能导致梯度更新后，神经元线性计算结果永远小于0，无法再次更新权值，也就是说这个神经元在训练过程中死亡了，所以需要合理设置步长大小

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def relu(x):
    return np.array(list(map(lambda x: x if x > 0 else 0, x)))

def drelu(x):
    return x >= 0

Leaky ReLU

Leaky ReLU试图解决ReLU单侧梯度消失的问题，其实现公式如下：

$$
\frac {\varphi f(x)}{\varphi x}=
\left{\right.
$$

其中是一个超参数，通常是一个很小的常数（比如），这样当输入值小于时仍旧能够进行权重更新

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def leaky_relu(x, a=0.01):
    return np.array(list(map(lambda x: x if x > 0 else a * x, x)))

def dleaky_relu(x, a=0.01):
    return np.array(list(map(lambda x: 1 if x > 0 else a, x)))

小结

推荐使用顺序：ReLU > Leaky ReLU > Tanh > Sigmoid

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